Memorias de un hombre de izquierda

Teoría de Juegos: Punto de negociación de Nash

Posted in Tendencias Políticas, Teoría de Juegos by unamdsp on octubre 4, 2009

En los juegos cooperativos, los jugadores pueden realizar negociaciones y llegar a acuerdos entre ellos. Este tipo de juegos pueden ser además subdivididos entre los que permiten la transferencia de utilidades y los que no.

Lo básico por entender es que un jugador puede ser cooperativo y racional al mismo tiempo. Así, ser cooperativo no implica ser altruista. De esta manera los jugadores pueden maximizar sus ganancias cuando estan dispuestos a negociar una solución que sea satisfactoria para todas las partes. El matemático John Nash modeló este tipo de comportamiento en forma matemática.

Ejemplo: La repartición de $100

En este ejemplo dos personas, uno rico y otro pobre se encuentran con un genio de la lámpara en la calle. El genio ofrece $100 para repartir entre ellos, con la condición de que los dos lleguen a un acuerdo en la forma de repartir el dinero entre ellos.

La pregunta en este ejemplo es como se repartirán el dinero los implicados. La teoría de Nash ofrece una respuesta a este problema formulando una serie de axiomas, brindando una solución de negociación única.

La teoría de Nash predice lo que pasaría si ambas partes actúan en forma estrictamente racional.  La respuesta de la teoría de Nash no es necesariamente justa como veremos a continuación.

Definamos a S como la región de las utilidades. Sean los puntos u_1^* y u_2^* la salida de las utilidades que tendría correspondientemente cada jugador si es que no llegan a un acuerdo. A este punto se le conoce como punto de amenaza.

Ahora consideremos la existencia de una función que realice el mapeo del conjunto de posibles regiones de utilidad y el conjunto de posibles puntos amenaza hacia una salida negociada expresada por \left(\bar{u},\bar{v}\right):

\left(\bar{u},\bar{v}\right) = f\left(S,u^*,v^*\right)

Para definir esta función, Nash definió una serie de axiomas que limitan el comportamiento de la posible función deseada. Bajo esos axiomas, Nash propuso la siguiente función:

\left(\bar{u},\bar{v}\right)=max_{ \left(u,v\right) \in S } \left(u-u^*\right)\left(v-v^*\right)

Los axiomas propuestos por Nash son:

  • Factibilidad de la Negociación: Esta condición establece que las utilidades obtenidas debido a la negociación no pueden ser peores que las que hubieran obtenido los jugadores si no hubieran realizado alguna negociación.
  • Óptimo Pareto: La salida negociada se debe encontrar en la frontera Pareto de la región de utilidades. Esto es: no existe una solución que sea mejor para los dos jugadores simultáneamente, por lo que ningún tipo de negociación razonada escogería este punto.
  • Independiente de alternativas irrelevantes: Si \left(\bar{u},\bar{v}\right) \in T \subset S y \left(\bar{u},\bar{v}\right)=f\left(S,u^*,v^*\right) entonces, \left(\bar{u},\bar{v}\right)=f\left(T,u^*,v^*\right) . De esta manera, si una negociación en la región de utiliades S brinda una salida en la región de utilizades T , que es un subconjunto de S , entonces una negociación en la región T nos daría el mismo resultado.
  • Simetría: Si la región de utiliades de simétrica para u=v , entonces u^*=v^* \Rightarrow \bar{u}=\bar{v}.  De esta manera si la región de utilidades es simétrica alrededor de una línea de 45°, entonces la salida negociada se encontrará sobre esta línea.

Regresemos al problema de la repartición de los $100 empleando los axiomas de Nash. Para plantear al problema en una forma más precisa, debemos asumir que la utilidad del dinero es logarítmica con respecto a la cantidad poseida. Asumamos que el hombre rico R es infinitamente rico, supongamos x_r=10^{10} mientras que el hombre pobre P apenas tiene x_p=10 en total.

Definamos a x como la cantidad que R gana en la negociación. Después de la negociación la utilidad poseida por R será:

u_r^{trato} = log \left( 10^{10}+x\right)

mientras que la utilidad para P es:

u_p^{trato} = log \left( 10 + \left(100-x\right) \right)

El punto de amenaza, es la utilidad que tendría cada uno de los jugadores si la negociación no es fructífera. Este punto sería \left(u_r^*,u_p^*\right)=\left( log (x_r), log(x_p)\right) , en donde los dos jugadores se quedan con la cantidad que tenían al inicio de las negociaciones.

Ahora, empleamos la función propuesta por Nash:

max_{u_r,u_p,x\in[0,100]} (u_r-u_r^*)(u_p-u_p^*)

La solución puede ser encontrada fácilmente de forma gŕafica.

Gráfica obtenida para la negociación de Nash

Gráfica obtenida para la negociación de Nash

Con las condiciones planteadas en este problema, el valor negociado x\approx66 . Evidentemente el resultado de la negociación favorece al rico, que se queda con la mayor parte del dinero.  Si en lugar x_p=0.1 es decir 10 centavos, y dejemos al rico en x_r=10^{10}, entonces la solución negociada de Nash sería x\approx84 haciendo la salida todavía más desbalanceada.

¿Cuál es el motivo de que pase esto?

La respuesta es simple, el hombre rico tiene más poder de negociación. Él puede decir “te gusta así , o no hay trato” amenazando con irse sin llegar a un acuerdo si es que él no obtiene la mayor parte del dinero. Sabe que no llegar a un acuerdo afectaría mucho más al pobre que a él, por lo que esta más dispuesto a aceptar un mal trato que a quedarse sin nada. Cuando las fortunas iniciales de los jugadores son más parecidas, entonces el valor de x\rightarrow 50.

El mercado laboral: Un ejemplo realista de este tipo de negociaciones.

Cuando el desempleo es alto  y existen unos pocos ricos que poseen grandes fortunas (como ocurre en México). Tenemos negociaciones desproporcionadas, por no decir injustas que propician un deterioro de las condiciones laborales. Quizás ello explique la forma en la que ha venido cayendo el poder adquisitivo del salario mínimo en los últimos 30 años.

Ahora si consideramos el avance en el tiempo de este tipo de negociaciones ¿a qué conduce? Pues que inevitablemente el rico es más rico y el pobre cada vez acepta peores condiciones.

¿qué podemos hacer?

Una manera de romper este círculo vicioso de empobrecimiento de las mayorías es creando un seguro de desempleo.  Si aumentamos las utilidades poseidas por el pobre al inicio de la negociación o dicho de otra forma, le brindamos un salario de desempleo similar al que  tendría en el mercado laboral sin el seguro, estamos forzando al empleador a mejorar la oferta y brindar un salario más cercano al punto justo.

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